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在微积分中，指数函数的导数是它本身。这意味着，对于任何实数 x，函数 f(x) = e^x 的导数等于它本身，即 f'(x) = e^x。这是一个非常重要的性质，因为它意味着指数函数是唯一一个导数等于它本身的函数。

我们可以使用导数的定义来证明这一点。导数的定义是：

f'(x) = lim (h->0) (f(x+h) - f(x))/h

将 f(x) = e^x 代入上式，得到：

f'(x) = lim (h->0) (e^(x+h) - e^x)/h

使用指数函数的性质 e^(a+b) = e^a ○ e^b，我们可以将上式改写为：

f'(x)

将 e^x 提取出来，得到：

f'(x) = e^x ○ lim (h->0) (e^h - 1)/h

lim (h->0) (e^h - 1)/h 是 e 的导数在 x = 0 处的定义，等于 1。因此，我们得到：

f'(x) = e^x ○ 1 = e^x

这证明了指数函数的导数等于它本身。石家庄人才网小编提示，这个性质在数学、物理和工程等许多领域都有广泛的应用，例如在建模指数增长和衰减、求解微分方程以及计算复利等方面。

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