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幂函数是指形如 $f(x) = x^a$ 的函数，其中 $a$ 是一个实数。在第一象限，即 $x > 0$ 时，幂函数具有以下五个基本性质：

1. 定义域和值域:

幂函数在第一象限的定义域为所有正实数，即 $(0, +\infty)$。其值域取决于指数 $a$ 的取值：

• 当 $a > 0$ 时，值域为 $(0, +\infty)$；
• 当 $a = 0$ 时，值域为 $\{1\}$；
• 当 $a < 0$ 时，值域为 $(0, 1)$。

2. 单调性:

幂函数在第一象限的单调性也取决于指数 $a$ 的取值：

• 当 $a > 0$ 时，幂函数在 $(0, +\infty)$ 上单调递增；
• 当 $a < 0$ 时，幂函数在 $(0, +\infty)$ 上单调递减。

3. 奇偶性:

当指数 $a$ 为有理数且分子分母互质，分母为奇数时，幂函数为奇函数；

4. 图像:

所有幂函数的图像都经过点 $(1, 1)$。当 $a > 0$ 时，图像过原点，且在第一象限内随着 $x$ 的增大而上升；当 $a < 0$ 时，图像无限接近于 $x$ 轴和 $y$ 轴，但永不相交，且在第一象限内随着 $x$ 的增大而下降。

5. 极限:

幂函数在 $x$ 趋近于 $0$ 时的极限，即第一象限的右极限，取决于指数 $a$ 的取值：

• 当 $a > 0$ 时，$\lim_{x \to 0^+} x^a = 0$；
• 当 $a = 0$ 时，$\lim_{x \to 0^+} x^a = 1$；
• 当 $a < 0$ 时，$\lim_{x \to 0^+} x^a = +\infty$。

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