石家庄人才网今天给大家分享《gamma分布的特征函数推导》，石家庄人才网小编对内容进行了深度展开编辑，希望通过本文能为您带来解惑。

Gamma分布是一种常见的连续型概率分布，它在统计学、概率论以及机器学习等领域都有着广泛的应用。其特征函数的推导是理解Gamma分布性质的重要步骤。本文将详细介绍Gamma分布的特征函数推导过程。

首先，我们需要明确Gamma分布的概率密度函数。对于参数为 α>0 和 β>0 的Gamma分布，其概率密度函数为：

$$f(x;α,β) = \frac{β^α}{Γ(α)}x^{α-1}e^{-βx}, x>0$$

其中，Γ(α) 是Gamma函数，定义为：$$Γ(α) = \int_0^∞ t^{α-1}e^{-t} dt.$$

Gamma分布的特征函数定义为随机变量 X 的概率密度函数的傅里叶变换：$$φ(t) = E[e^{itX}] = \int_{-∞}^∞ e^{itx}f(x)dx.$$

将Gamma分布的概率密度函数代入特征函数的定义式，得到：

$$φ(t) = \int_0^∞ e^{itx} \frac{β^α}{Γ(α)}x^{α-1}e^{-βx} dx.$$

化简上式，得到：

$$φ(t) = \frac{β^α}{Γ(α)} \int_0^∞ x^{α-1}e^{-(β-it)x} dx.$$

为了计算上式中的积分，我们进行如下变

$$φ(t) = \frac{β^α}{Γ(α)} \int_0^∞ (\frac{u}{β-it})^{α-1}e^{-u} \frac{du}{β-it}.$$

进一步化简，得到：

$$φ(t) = \frac{β^α}{(β-it)^αΓ(α)} \int_0^∞ u^{α-1}e^{-u} du.$$

注意到上式中的积分正是Gamma函数的定义，因此可以将其替换为Γ(α)，得到：

$$φ(t) = \frac{β^α}{(β-it)^αΓ(α)} Γ(α).$$

最终，我们得到Gamma分布的特征函数为：

$$φ(t) = (\frac{β}{β-it})^α.$$

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