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黎曼函数 R(x) 定义为：

R(x) = \begin{cases}1/q, & \text{如果 } x = p/q \text{ 为既约分数，其中 } p \text{ 和 } q \text{ 是整数，} q > 0, \\0, & \text{如果 } x \text{ 是无理数}.\end{cases}

我们要证明 lim (x → a) R(x) = 0，其中 a 是任意实数。

证明：

对于任意 ε > 0，我们需要找到一个 δ > 0，使得当 0 < |x - a| < δ 时，有 |R(x) - 0| < ε。

首先，我们注意到对于任何无理数 x，R(x) = 0，因此 |R(x) - 0| = 0 < ε 恒成立。

现在，我们考虑有理数 x = p/q，其中 p 和 q 是整数，q > 0。为了使 |R(x) - 0| = 1/q < ε 成立，我们需要 q > 1/ε。

由于 a 是固定的，因此在区间 (a - 1, a + 1) 内，分母小于等于 1/ε 的有理数个数是有限的。设这些有理数为 r1, r2, ..., rn，并令 δ = min{|a - r1|, |a - r2|, ..., |a - rn|, 1}。

石家庄人才网小编提醒您，需要注意的是，这里取 δ 小于等于 1 是为了保证当 0 < |x - a| < δ 时，x 在区间 (a - 1, a + 1) 内。

现在，对于任意 x，如果 0 < |x - a| < δ，则 x 要么是无理数，要么是有理数且分母大于 1/ε。在这两种情况下，我们都有 |R(x) - 0| < ε。

因此，根据极限的定义，我们证明了 lim (x → a) R(x) = 0。

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