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定义： 形如 y = x^a (a∈R 为常数)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，a 是幂指数。

性质：

1. 定义域： 取决于幂指数 a 的取值。 ○ 当 a 为正整数时，定义域为全体实数 R。 ○ 当 a 为负整数或分数时，定义域为 x ≠ 0 的全体实数。 ○ 当 a = 0 时，定义域为全体实数 R，且函数值为常数 1。

2. 值域： ○ 当 a 为正奇数时，值域为全体实数 R。 ○ 当 a 为正偶数时，值域为 y ≥ 0。 ○ 当 a 为负奇数时，值域为 y ≠ 0 的全体实数。 ○ 当 a 为负偶数时，值域为 y > 0。

3. 奇偶性： ○ 当 a 为奇数时，幂函数为奇函数，图像关于原点对称。 ○ 当 a 为偶数时，幂函数为偶函数，图像关于 y 轴对称。

4. 单调性： ○ 当 a > 0 时，幂函数在 (0,+∞) 上单调递增；在 (-∞,0) 上，当 a 为奇数时单调递增，当 a 为偶数时单调递减。 ○ 当 a < 0 时，幂函数在 (0,+∞) 上单调递减；在 (-∞,0) 上，当 a 为奇数时单调递减，当 a 为偶数时单调递增。

图像：

幂函数的图像取决于幂指数 a 的取值，根据 a 的正负和奇偶性可以分为以下几种情况：

1. a 为正整数： 图像过原点 (0,0) 和点 (1,1)，a 越大，图像在第一象限越陡峭。2. a 为负整数： 图像过点 (1,1)，有两条渐近线 x = 0 和 y = 0，a 越小，图像在第一象限越靠近坐标轴。3. a 为正分数： 图像过原点 (0,0) 和点 (1,1)，在第一象限类似于抛物线，a 越大，图像在第一象限越陡峭。4. a 为负分数： 图像过点 (1,1)，有两条渐近线 x = 0 和 y = 0，在第一象限类似于反比例函数，a 越小，图像在第一象限越靠近坐标轴。

石家庄人才网小编提醒大家，幂函数的图像和性质在实际问题中有着广泛的应用，例如描述物理量之间的关系、拟合实验数据等。掌握幂函数的图像和性质对于理解和解决相关问题具有重要意义。

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