本篇文章给大家带来《反函数求导的经典例题及答案》，石家庄人才网对文章内容进行了深度展开说明，希望对各位有所帮助，记得收藏本站。

反函数求导是高等数学中的一个难点，很多同学在学习过程中都会遇到各种各样的问题。为了帮助大家更好地掌握这一知识点，石家庄人才网小编整理了一些经典例题及答案，希望对大家有所帮助。

例题1：已知函数$y = f(x) = x^3 + 1$，求其反函数$x = g(y)$的导数$g'(y)$.

解：

首先，将$y = x^3 + 1$反解出$x$，得到$x = \sqrt[3]{y-1}$，即反函数$g(y) = \sqrt[3]{y-1}$

然后，利用反函数求导公式：$g'

因为$f'(x) = 3x^2$，所以$f'(g(y)) = 3(\sqrt[3]{y-1})^2 = 3(y-1)^{\frac{2}{3}}$.

因此，$g'(y) = \frac{1}{f'(g(y))} = \frac{1}{3(y-1)^{\frac{2}{3}}}$.

例题2：已知函数$y = f(x) = e^x$，求其反函数$x = g(y)$在$y = e$处的导数$g'(e)$.

解：

首先，将$y = e^x$反解出$x$，得到$x = \ln y$，即反函数$g(y) = \ln y$.

然后，利用反函数求导公式：$g'(y) = \frac{1}{f'(x)}$，其中$x = g(y)$.

因为$f'(x) = e^x$，所以$f'(g(y)) = e^{\ln y} = y$.

因此，$g'(y) = \frac{1}{f'(g(y))} = \frac{1}{y}$.

当$y = e$时，$g'(e) = \frac{1}{e}$.

例题3：已知函数$y = f(x) = \sin x$，$x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$，求其反函数$x = g(y)$在$y = \frac{1}{2}$处的导数$g'(\frac{1}{2})$.

解：

首先，将$y = \sin x$反解出$x$，得到$x = \arcsin y$，即反函数$g(y) = \arcsin y$.

然后，利用反函数求导公式：$g'(y) = \frac{1}{f'(x)}$，其中$x = g(y)$.

因为$f'(x) = \cos x$，所以$f'(g(y)) = \cos (\arcsin y)$.

由三角函数关系可知，$\cos (\arcsin y) = \sqrt{1 - y^2}$.

因此，$g'(y) = \frac{1}{f'(g(y))} = \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$.

当$y = \frac{1}{2}$时，$g'(\frac{1}{2}) = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

石家庄人才网小编提醒大家，在做反函数求导题时，一定要先将原函数反解出来，然后再利用反函数求导公式进行计算。同时，还要注意反函数的定义域和值域。

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