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在微积分中，反函数求导法则是一个非常重要的公式，它给出了一个函数的反函数的导数。这个法则表明，如果函数 \(f\) 在区间 \(I\) 上可导并且 \(f'(x) \neq 0\)，那么 \(f\) 的反函数 \(f^{-1}\) 在区间 \(f(I)\) 上也可导，并且

$$(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))},$$

其中 \(y = f(x)\)。

证明：

根据反函数的定义，我们有

$$f(f^{-1}(y)) = y.$$

两边对

$$f'(f^{-1}(y)) (f^{-1})'(y) = 1.$$

由于 \(f'(x) \neq 0\)，所以 \(f'(f^{-1}(y)) \neq 0\)。因此，我们可以将上式两边同时除以 \(f'(f^{-1}(y))\)，得到

$$(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}.$$

例子：

求函数 \(f(x) = x^3\) 的反函数的导数。

解：

首先，我们求出 \(f(x) = x^3\) 的反函数。令 \(y = x^3\)，则 \(x = \sqrt[3]{y}\)。因此，\(f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y}\)。

接下来，我们使用反函数求导法则：石家庄

$$(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} = \frac{1}{3(f^{-1}(y))^2} = \frac{1}{3(\sqrt[3]{y})^2} = \frac{1}{3y^{2/3}}.$$

应用：

反函数求导法则在微积分和数学分析中有很多应用，例如：

• 求解隐函数的导数
• 计算反三角函数的导数
• 证明微积分中的其他定理

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